1. 퓨리에 급수란?
모든 주기 신호는 그 신호의 기본파와 고조파의 합으로 이루어져있다는 것을 나타내는 이론입니다. 이때 각 신호의 크기를 알기 위해서는 그 신호의 켤레 복소수를 곱한뒤 한주기 적분을 해주면 됩니다
2. Transform Function은 왜 필요한가?
모든 신호는 복소지수함수 또는 정현파로 표현이 가능합니다. 그런데 이 함수들은 시간과 주파수 식이므로 적분 변환을 사용하면 시간 또는 주파수 식으로 고쳐질 수 있습니다. 그렇기에 신호의 특성을 파악하기가 쉬워집니다.
3. 퓨리에 변환이란?
퓨리에 급수는 주기 신호일때 그 신호의 주파수 영역으로 분석하는 방법이었습니다. 퓨리에 변환은 비주기 신호일때 주파수를 분석하기 위해 나온 변환식입니다. 비주기 신호는 주기가 무한대인 신호로 볼 수 있으므로 퓨리에 급수의 크기 식을 조정하여서 퓨리에 변환식을 유도할 수 있습니다.
4. 주기신호의 퓨리에 변환하는 방법?
시간영역에서 퓨리에 급수식의 양변에 퓨리에 변환식을 적용합니다. 그 결과 주기신호의 주파수영역 분석을 할 수 있습니다.
5. 섀넌의 샘플링 정리란?
연속신호에 임펄스열을 곱하여 이산신호를 만드는데 주파수가 얼마인 임펄스열을 곱해야 하는지 결정하는 방법입니다. 연속신호에 임펄스열을 곱하여 만들어진 이산신호는 주파수 영역으로 변환할때 크기가 1/Ts이며 fs의 n배수인 주파수에 연속신호의 주파수 신호가 주기적으로 나타나지게 되는데, fs가 너무 작으면 nfs마다 나타날 연속신호의 주파수 영역 신호가 서로 겹치게 되어 분리할수 없게 됩니다.
6. Aliasing(앨리어싱) 이란?
연속 정현파는 cosWt로 나타낼 수 있지만 이걸 샘플링하여 만들어진 이산 정현파는 cosWnTs = cosΩn 으로 나타나지게 됩니다. 즉 Ω = WTs 이란건데 W는 각주파수로 단위시간당 움직인 각도입니다.
그러나 Ω 는 W에 시간을 곱한 개념이다보니 그저 각도, 즉 Ω는 radian이 되버립니다.
예를 들어, cos2𝝅t 신호는 f = 1인 신호이다. 이때 샘플링 주기Ts를 1로 한다면 Ω=1이된다
그리고 cos𝝅t 신호는 f = 1/2인 신호인데 이때 샘플링 주기Ts를 2로 한다면 Ω=1이된다
즉, 전혀 다른 두 신호지만 이산신호로 바꿨을 때, 같은 신호가 되어서 구분을 못하게 되는 현상을 앨리어싱이라고 한다.
7. 이산시간 퓨리에 급수란?
연속시간 주기신호에 샘플링 처리를 하여서 만들어진 이산시간 주기신호에 대해 주파수영역 분석하는 방법입니다. 기본적인 식은 연속시간 퓨리에 급수 식과 동일하지만, 이때 범위는 한주기 즉 N개를, 기본파의 주파수를 Ω = 2𝝅/N으로, 고조파의 주파수를 Ω = 2𝝅k/N으로 설정해주게 됩니다.
마찬가지로 주파수별 크기를 알기 위해서는 그 신호의 켤레 복소수를 곱해준뒤, 한주기 즉 N개에 대해 적분해주면 됩니다.
8. 이산시간 퓨리에 변환이란?
연속시간 주기신호에서 비주기신호로 바꿀때 주기가 무한대인 신호로 봤는데, 이산시간 퓨리에 변환식에도 같은 과정을 접목하게 되면 1/N는 그저 Ω/2𝝅이기에 식이 사라지게 됩니다. 즉 기존의 방식으로는 이산시간 퓨리에 변환을 유도할 수 없습니다. 이 경우, 포락선 함수인 X(Ω)식을 구한뒤, X(Ω)식에서 x[n]식을 유도하는 순서로 구할 수 있습니다
9. 이산 퓨리에 변환(DFT)이란?
컴퓨터는 이산신호만 처리할 수 있으므로 연속시간 신호를 이산신호로 바꿔주었습니다. 우리의 목표는 연속시간 비주기 신호의 스펙트럼으로부터 원래의 아날로그 신호를 복구하는 것입니다. 하지만 이산시간 신호를 주파수 영역으로 변환하여 보면 -∞ ~ ∞에 퍼져있습니다. 그러므로 주파수 영역 신호를 한주기에 대해서만 잘라내는 과정이 필요하게 됩니다. 즉 DFT는 시간영역과 주파수영역에서 이산적으로 신호를 처리하기 위한 처리 입니다.
이를 위해서는 이산시간 퓨리에 변환식에서 한주기N만큼 뽑아내고 K개 만큼 잘라주게 되는데 이때 시간영역으로 바꿔서 보게 되면 이산적인 신호가 됩니다.
10. FFT란?
이산 퓨리에 변환식을 보면 x[n]의 여러 식과 회전인자의 여러 식을 곱하고 합치는 과정을 엄청나게 많이 반복하게 되는데 이건 N이 증가하면 연산량은 N^2배 만큼 증가하게 됩니다. 즉 DFT의 주된 문제는 N에 따른 연산량 문제이므로, 연산을 하기전에 x[n]을 8배항 또는 4배항 또는 짝홀항 으로 나눈 뒤에 연산을 하는 방법입니다. FFT는 이전의 여러 변환식들과 달리 그저 DFT 연산을 빠르게 수행하기 위한 알고리즘 입니다.
11. 라플라스 변환과 퓨리에 변환 차이?
둘 다 시간과 주파수 식에 대해 적분변환을 사용하여서 하나의 factor에 대해 분석하는것 자체는 동일합니다. 하지만 퓨리에 변환의 적분인자로는 e^(-jwt)를 사용하지만 라플라스 변환의 적분인자로는 e^(-st)를 사용합니다. 이때
s = σ + jwt인데 라플라스 변환의 적분인자는 퓨리에 변환의 적분인자에 대해 σ 라는 factor가 추가된 것입니다.
즉, 퓨리에 변환은 시간+주파수 식에 대해 시간 인자를 적분해줌으로써 주파수 식에 대해 분석하는 식이고 라플라스 변환은 시간+주파수 식에 대해 s 인자(σ + 시간)를 적분해줌으로써 s 식에 대해 분석하는 식입니다.
이때 σ는 감쇠상수로써, σ>0면 s영역 신호는 지수함수가 +이니 발산하고, σ<0면 지수함수가 -이니 감쇠하고 σ=0면 e^(-jwt)와 같아지게 됩니다.
즉, 라플라스 변환은 시스템에 신호를 넣은 시점에서 시스템의 안정성을 평가하는데에 쓰이며 퓨리에 변환은 라플라스 변환의 특수한 경우(σ=0) 입니다.
이때, 라플라스 변환을 미분방정식에도 적용해보니 미분방정식이 대수방정식으로 바뀌는 효과가 생깁니다. 이 대수 방정식을 풀어보면 특성방정식이 생기는데 특성방정식의 해를 극점(pole)이라고 합니다.
극점은 S식에 대한 해로써, 극점의 위치를 S영역에 대해 분석해보면 시스템의 안정도를 확인할 수 있습니다.
11. Z변환이란?
라플라스 변환의 특수한 경우(σ=0)가 (연속시간)퓨리에 변환이라고 하였습니다. 또한 라플라스 변환은 연속신호가 시스템에 입력될 때 시스템의 안정도를 판별하는 변환식이었다면, Z변환도 마찬가지 입니다. Z변환의 특수한 경우가 (이산시간) 퓨리에 변환이고 Z변환은 이산신호가 시스템에 입력될 때 시스템의 안정도를 판별하는 변환식입니다.
이산 수열 x[n]을 h[n]으로 보겠습니다. 그리고 이 이산수열에 r을 곱해줄건데 n에 따라 r 값을 바꿔주게 되게 할것입니다. 이 경우 x[n] = h[n]r^(-n)이 되게 됩니다. 이렇게 바꾼 식을 기존의 DTFT 식에 넣어주게 되면, 적분인자가 r^(-n) x e^(-jΩn) 으로 바뀌게 됩니다 이때 re^(jΩ)을 Z로 바꿔주고, 시스템의 안정도를 판별하기 위해 입력의 순간(n=0)으로 바꿔주게 된다면 Z변환이 완성되게 됩낟.